1-freelance.ru

Журнал "Фрилансер"
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Ырс√ (Лабораторные по физике), страница 10

ырс√ (Лабораторные по физике), страница 10

PDF-файл из архива «Лабораторные по физике», который расположен в категории «лабораторные работы». Всё это находится в предмете «физика» из первого семестра, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «лабораторные работы», в предмете «физика» в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 10 страницы из PDF

На диске крепятся сменные кольца 8.Масса сменных колес 8 указана на каждом кольце. Маятник сосменными кольцами фиксируется в верхнем исходном положении спомощью электромагнита.На вертикальной стойке нанесена миллиметровая шкала 14, покоторой определяется ход маятника.Фотоэлектрический датчик 9 закреплен на кронштейне 3.Кронштейн 3 обеспечивает возможность перемещения фотодатчика67вдоль вертикальной стойки и его фиксирования зажимом 15 в любомместе шкалы в пределах (0 — 420) мм.Фотодатчик 9 предназначен для выдачи электрических сигналов намиллисекундомер 10, который является прибором для измерения времени.Порядок выполнения работыУпражнение 1.Экспериментальное определение момента инерции1.

Установить по высоте кронштейн 3 в крайнее нижнее положениетак, чтобы его поверхность, окрашенная в красный цвет (служитуказателем), совпадала с нижней отметкой шкалы 14 (цифра 40).2. Надеть и закрепить сменное кольцо 8 на диск 6. Установитьнеобходимую длину нити (с помощью устройства 4) так, чтобы нижняякромка сменного кольца находилась на (4 — 5) мм ниже оптической оси(метка 11) фотодатчика. Ось маятника должна быть горизонтальной.3. С помощью регулировки опор 16 добиться того, чтобы диск 6 набифилярном подвесе находился посередине фотодатчика 9.4.

Нажать кнопку “Сеть” на панели миллисекундомера 10.5. Накрутить нити на стержень 7 виток к витку и зафиксироватьмаятник в верхнем положении при помощи электромагнита 13. Нитиподвеса в этом положении должны быть слегка ослабленными.6. Установить индикатор отсчета времени на ноль, нажав кнопку“Сброс”.Таблица 2.2Кольцо № 1№п.п123123123123Sмtctcам/с2Jэкспкг м2687. Нажать кнопку “Пуск”. Происходит выключение электромагнитаи включение миллисекундомера. В момент пересечения маятникомоптической оси фотодатчика отсчет времени прекращается.8. Вновь поднявшийся маятник в верхнем положении задержатьрукой и осторожно опустить вниз, размотав нить.9.

Записать время падения маятника t по миллисекундомеру, атакже расстояние S между начальным и конечным положениеммаятника в табл.2.2.10. Повторить еще два раза измерения по п.п. 4. 9 и найти среднеезначение времени движения груза t .11. Проделать операции 2. 10 для трех – пяти различных значенийрасстояния S, устанавливая его перемещением кронштейна 3. Длякаждого значения расстояния S предварительно установить нужнуюдлину подвеса (п.2).12.

Построить график зависимости S f ( t ) , откладывая по оси абсцисссреднее значение времени t для каждого расстояния S. (рис. 2.9).13. По наклону прямой определить ускорение маятника а = 2k2.14. По формуле (2.47) вычислить момент инерции.15. Проделать измерения (п.п. 1. 14) с другим сменным кольцом изаписать результаты измерения в табл.2.3.Таблица 2.3Кольцо № 2№п.п123123123123Sмtctcам/с2Jэкспкг м216. Рассчитать доверительную и относительную погрешностьизмерения для одного из опытов.69Упражнение 2.Теоретическое вычисление значения момента инерции маятникаНа рис.2.11: 1 — стержень (m1, r, 2L, J1); 2 — диск (m2, R1, J2); 3 сменное кольцо (m3, R1, R2, J3).321rR1R2LРис. 2.11Момент инерции стержня: J1Момент инерции диска: J 21m1r 2 .21m 2 R12 .21m 3 (R 12 R 22 ).2Массу m1 или m2 определяют по известной плотности материала( = 2700 кг/м3) и соответствующим геометрическим размерам.Для всех лабораторных установок m0 = m1 + m2; m0 = 0,135 кг,J тeop J1 J 2 J3.Радиусы R1 и R2 и другие необходимые размеры измеряютштангенциркулем.

Масса m3 указана на каждом сменном кольце (илисообщается лаборантом).Сравнение расчетных и экспериментальных результатов:J тeop J экспJ100%.J тeopJ тeopМомент инерции сменного кольца: J 3Контрольные вопросы1. Сформулируйте закон сохранения энергии для движения маятника.2. Как определяется момент инерции маятника?3. Как теоретически подсчитывают момент инерции диска и чемуон равен?4. Для чего в опытах используется электромагнит?705.

Какая существует связь между моментом силы и угловымускорением для равноускоренного движения диска, момент инерциикоторого J?ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3Изучение динамики вращательногодвиженияЦель работы: изучение основного уравнения динамики вращательногодвижения твердого тела и определение момента инерции тел.Методика измеренийПринцип работы установки иллюстрирует действие основногоуравнения динамики вращательного движения твердого тела (2.19):М J ,(2.48)где М — вращающий момент; J — момент инерции тела относительно осивращения; — угловое ускорение вращающегося тела.Маятник (маятник Обербека), используемый в работе, представляетсобой маховик крестообразной формы (рис.2.12).По четырем взаимно перпендикулярным стержням могутперемещаться грузы 11 массой m1 каждый.

На общей оси находитсяшкив, на который наматывается нить, перекинутая через другой шкив5. На конце нити перемещается “падающая” масса m (8).Под действием “падающей” массы m нить разматывается иприводит маховик в равноускоренное вращательное движение, приэтом угловое ускорение крестовины:a,(2.49)rгде а — линейное ускорение массы m; r — радиус шкива.Для равноускоренного движения смещение массы m:hоткуда находимaat 2,22h;t22h;t 2rгде h — смещение массы m, t — время движения массы m.(2.50)(2.51)(2.52)715197268L119101412318131541716а)1б)Рис.

2.12Момент силы F, приложенной к шкиву, по определениюМ = F r.(2.53)Cила F (натяжение нити) может быть найдена из уравнениядинамики поступательного движения массы m,подвешенной на нити (рис.2.13): ma = mg – F, поэтомуFF m (g a ) иmaM m (g a ) r ,(2.54)Используя формулу (2.48) и вычисляя из опыта h иt, можем записать расчетную формулу дляэкспериментального определения момента инерциикрестовины:mgРис. 2.1372J экспM2h 2 2r tt2.2hm g(2.55)Теоретическое значение момента инерции крестовиныm 2L2(2.56)J тeop J 0 4m1R 4,3где J0 — суммарный момент инерции двухступенчатого шкива, оси ибобышки крестовины; 4m1R2 — момент инерции передвижных грузовкрестовины; R — расстояние от оси вращения до центра массы m1; m1 4m 2 L2масса передвижных грузов;- момент инерции всех четырех3стержней крестовины без грузов m1; L — длина стержня; m2 — масса стержней.2Экспериментальная установкаОбщий вид маятника изображен на рис.2.12.

Читайте так же:
Мобильный банк псб вход

На вертикальнойстойке крепятся три кронштейна: верхний 2, средний 3 и нижний 4.Положение всех кронштейнов на вертикальной стойке строго зафиксировано.На верхнем кронштейне 2 крепится блок 5 изменения направлениядвижения эластичной нити 6, на которой подвешен крючок 7 с грузами8. Вращение блока 5 осуществляется в узле подшипников 19, которыйдает возможность уменьшить трение.На среднем кронштейне 3 крепится электромагнит 14, которыйудерживает систему с грузами в неподвижном состоянии.

На этом жекронштейне расположен узел подшипников 9, на оси которого с однойстороны закреплен двухступенчатый шкив 13, на котором имеетсяприспособление для закрепления нити 6. На другом конце осинаходитсякрестовина10,представляющаясобойчетыреметаллических стержня с нанесенными на них рисками через каждые10 мм, закрепленных в бобышке 12 под прямым углом друг к другу.На каждом стержне могут свободно перемешаться и фиксироватьсягрузы 11, что дает возможность ступенчатого изменения момента инерциикрестовины маятника.

На нижнем кронштейне 4 крепится фотоэлектрическийдатчик 15, который выдает электрический сигнал на миллисекундомер16 для окончания счета промежутков времени. На этом же кронштейнекрепится резиновый амортизатор 17, о который ударяется груз при остановке.Маятник снабжен миллиметровой линейкой 18, по которойопределяется начальное и конечное положение грузов, аследовательно, и пройденный путь. Миллисекундомер 16 с цифровойиндикацией времени закреплен на основании 1.73Порядок выполнения работы1. Закрепить нить на малом радиусе двухступенчатого шкива (r1 =2 см).

Установить на платформу основного груза один разновес 8 (рис.2.12). Передвижные грузы на крестовине закрепить на расстоянииоколо 100 мм от оси вращения. Проверить балансировку маятника(маятник должен находиться в состоянии безразличного равновесия,если нить не натянута).2. Нажать на кнопку “Сеть”, расположенную на лицевой панелисекундомера, при этом должны загореться лампочка фотодатчика ицифровые индикаторы секундомера и сработать электромагнит,который зафиксирует крестовину в заданном положении.3.

Нажав на кнопку “Пуск” и удерживая ее в этом положении,перевести основной груз в верхнее положение. Отпустить кнопку “Пуск”.4. По шкале определить ход падающего груза h как разностьотсчетов его верхнего и нижнего положений. Верхнее положениеопределяется по нижнему краю груза, нижнее — по оси фотодатчика,находящейся между двумя черными линиями.5. Нажать на кнопку “Сброс”.6. Убедившись, что основной груз неподвижен, нажать на кнопку“Пуск” и удерживать ее в нажатом состоянии до момента пересеченияпадающим грузом оптической оси фотодатчика.Примечание: В случае, если падающий груз слегка колеблется, топри падении он может ударить по фотодатчику, что весьма нежелательноТаблица 2.4Малый шкив r1 = 2 см№п.п123123123123.mкгhмtctcам/с2МНмс–2Jэкспкг м2МтрНм747. Произвести отсчет времени t движения маятника помиллисекундомеру. Записать измеренные значения t и h в табл.2.4.8. Повторить измерения по п.п.

3. 7 еще два раза и определитьсреднее значение времени t .М(Н м)9. Повторить опыты по п.п.1. 8, добавляя по одномугрузу на основной груз, неменяя положения грузов наМкрестовине.10. Для средних значенийМтрвремени t рассчитать всезначения ускорения а по0(с–2)формуле (2.51) и вращающегомомента М по формуле (2.54).Рис.2.14Определить угловое ускорениепо формуле (2.52).11. Результаты измерений представить в виде графика, отложив погоризонтальной оси , а по вертикальной оси – М (рис.2.14).

Измерение моментов инерции параллелепипеда

1. Во введении показано, что момент инерции любого тела относительно любой оси можно определить, если известны главные моменты инерции JX , JY и JZ . Обычно эти величины необходимо находить экспериментально. Однако для тел обладающих симметрией, их можно рассчитать достаточно просто. Рассчитаем их для однородного параллелепипеда.

Главными осями параллелепипеда являются прямые, проходящие через его геометрический центр перпендикулярно его граням. Введем жестко связанную с телом систему координат, оси которой направлены вдоль главных осей, а начало отсчета находится в геометрическом центре параллелепипеда. Для однородного тела эта точка совпадает с центром тяжести. Будем считать, что ось направлена вдоль самого короткого ребра длиной а , а ось OX — вдоль самого длинного ребра длиной с.

Вычислим осевой момент JZZ . При нашем выборе системы координат он будет равен главному моменту т.к. ось OZ направлена вдоль главной оси. Разобьем параллелепипед на столбики с площадью основания dS = d x d y и высотой а . Все точки такого столбика характеризуются одинаковыми значениями координат х и у . Объем его dV равен adxdy, а масса dm=  dV=a  dxdy . Поэтому вклад этого столбика в величину JZZ определяется согласно формуле (29) введения

Интегрирование (1) по у дает вклад в Jzz слоя высотой а и толщиной dx

Интегрируя полученное выражение по х , получим для всего параллелепипеда

Аналогично можно получить:

Итак, главные моменты инерции одноного параллелепипеда равны

Нетрудно заметить, что для куба, у которого а=b=с , главные моменты инерции одинаковы:

Если определены главные моменты инерции тела, то момент инерции его относительно оси, направленной вдоль вектора и проходящей через центр тяжести, рассчитывается по формуле (37) введения:

где — , и  — это углы, которые составляет вектор с координатными осями OX , OY и OZ соответственно.

Читайте так же:
Моноблок леново вход в биос

В данной лабораторной установке ось вращения тела (ось маятника) направлена по вертикали. Поэтому во всех опытах следует считать, что единичный вектор направлен вертикально вверх. Таким образом, закрепляя параллелепипед в различных положениях, мы изменяем расположение жестко связанной с телом системы координат относительно постоянного вектора и, тем самым, меняем углы ,  и .

Вычисление направляющих косинусов Cos , Cos  и Cos  представляет собой чисто геометрическую задачу. На рис.2 изображены некоторые возможные оси, относительно которых будут определяться моменты инерции. Видно, что направляющие косинусы осей, совпадающих с главными диагоналями, например AA1 , равны

Образцы могут быть закреплены также в точках, лежащих посредине граней и ребер. При использовании этих точек, расположенных симметрично относительно центра тяжести (точки О ), можно измерить моменты инерции относительно диагоналей соответствующих сечений или главных осей. Различные оси будут определяться различными наборами направляющих косинусов. Так для оси ВВ1 получаем

Итак, зная массу параллелепипеда и его геометрические размеры, можно определить моменты инерции относительно любой оси, проходящей через центр.

В заключении отметим, что в силу равенства cos2  +cos2  +cos2  =1 моменты инерции куба относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, одинаковы и равны J КУБ=( m /6) a 2 .

2. Момент инерции тела относительно произвольной оси можно измерить, если знать период колебаний тела вокруг этой оси (см. лабораторную работу №4). Как показано в описании к лабораторной работе №4, для определения момента инерции необходимо измерить, период крутильных колебаний, который связан с моментом инерции тела J относительно оси колебаний простым соотношением:

где  — постоянная момента упругих сил, характеризующая жесткость тела относительно деформации кручения.

Исследуемое тело жестко закрепляется в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой проволоке. Если вывести маятник из равновесия, то он будет совершать колебания с периодом . Здесь JM — -момент инерции маятника, который равен сумме момента инерции рамки J 0 и момента инерции исследуемого тела J . Таким образом,

Если колеблется одна рамка без тела, то ее период колебаний, очевидно, равен

Исключая из этих уравнений неизвестную величину , находим

Из соотношения (9) видно, что для определения момента инерции относительно маятника необходимо измерить периоды колебания Т0 и Т соответственно для свободной рамки и для рамки с телом. Величину J 0 необходимо определить заранее, например, измеряя периоды колебания закрепленного в рамке тела, момент инерции которого относительно оси колебаний известен из других соображений.

В данной работе в качестве такого тела используется однородный куб, моменты инерции которого (как показано выше), относительно любой оси, проходящей через его центр, одинаковы и равны. J К=( m /6) a 2 . Очевидно, что момент инерции свободной рамки можно определить по формуле

Здесь m и a — масса и длина ребра куба, а Т0 и Т — периоды колебаний пустой рамки и рамки с кубом соответственно.

Установка для измерения момента инерции методом крутильных колебаний представляет собой собранные на одном массивном основании стойку для крепления образцов и миллисекундомера. На стойке находятся три кронштейна. Верхний и нижний кронштейн имеют зажимы для крепления стальной проволоки, к которой подвешивается рамка. В рамке можно жестко закрепить исследуемое тело. На среднем кронштейне размещена платформа, которая служит основанием фотоэлектрического датчика и угловой шкале, используемой для отсчета угла поворота крутильного маятника.

На лицевой панели миллисекундомера находятся

— клавиша «сеть » — выключатель сети. Нажатие этой клавиши вызывает включение питающего напряжения (при этом на цифровых табло должны высвечиваться нули и гореть лампочка фотодатчика);

— клавиша » сброс » — сброс измерений. Нажатие этой клавиши вызывает сброс схем блока измерений и генерирование сигнала, разрешающего измерение;

— клавиша » стоп » — окончание измерений. При нажатии клавиши » стоп » генерируется сигнал на окончание процесса счета времени;

Два цифровых табло, находящихся на лицевой панели, показывают число колебаний рамки и время, в течение которого они совершаются.

При нажатии клавиши » сеть » секундомер устанавливается в начальное состояние (нули на индикаторах) и блокируется схема формирования импульсов.

Эта блокировка снимается при нажатии клавиши » сброс » . Когда начинаются крутильные колебания, то в момент первого прерывания светового потока, падающего на фототранзистор от лампочки, генерируется электрический импульс, который подключает к счетчику времени кварцевый генератор. Счетчик подсчитывает число импульсов, следующих с кварцевого генератора с частотой 10 Кгц. Одновременно другой счетчик подсчитывает каждый (следующий после первого) нечетный импульс, приходящий с фотоэлектрического датчика. Прохождение каждого такого нечетного импульса соответствует одному колебанию и показание цифрового табло счетчика периодов изменяется на единицу.

При нажатии клавиши » стоп » формируется сигнал, который подготавливает схемы к концу счета. Полностью счет прекращается в момент генерации фотодатчиком очередного нечетного импульса. При этом на табло высвечивается число колебаний и время, в течение которого они совершились. Погрешность измерения времени составляет 0,02% .

Таким образом, методика измерения момента инерции тела относительно оси колебаний такова. Вначале надо убедиться в применимости формулы (6), которая справедлива, если колебания слабозатухающие. После этого, измеряя периоды колебаний пустой рамки и рамки, с закрепленным в ней эталонным телом (кубом), определить момент инерции пустой рамки по формуле (10). Далее, закрепив в рамке исследуемый образец и измерив период колебаний крутильного маятника, по формуле (9) рассчитать момент инерции образца относительно оси колебаний.

Читайте так же:
Можно ли преобразовать ворд в эксель

Описанный метод применим для определения осевого момента инерции тела произвольной формы. В данной работе этот метод используется для определения J образцов, имеющих форму параллелепипеда.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Включить прибор нажатием клавиши » сеть » , убедиться, что индикаторы измерителя высвечивают нули, и горит лампочка фотодатчика.

Убедиться, что колебания крутильного маятника затухают слабо. Для этого, отклонив маятник на некоторый угол и нажав клавишу «сброс», определить число колебаний N , за которое амплитуда колебаний уменьшается в 2-3 раза. Если N>10 , то затухание можно считать малым и пользоваться формулой (6) (а значит, и формулами (9) и (10)). Измерение N провести для пустой рамки и рамки с закрепленным на ней параллелепипедом.

Определить время t , в течение которого свободная рамка совершает N колебаний. Очевидно, что T 0= t 0/ N . Измерения провести 5-7 раз. Данные занести в таблицу, рассчитать среднее значение, случайную и систематическую погрешность.

Укрепить в рамке куб так, чтобы ось вращения совпадала с главной осью. Измерить период колебаний рамки с кубом также как в пункте 3.

Определить период колебаний крутильного маятника, если с осью вращения совпадает главная диагональ куба и диагональ его сечения.

Сравнить полученные значения Т . Если они совпадают в пределах погрешности измерений, то провести их усреднение, считая измерения равноточными с систематической погрешностью метода, равной наибольшей погрешности отдельных измерений.

По формуле (10) рассчитать J 0 , считая, что J К=( m /6) a 2 . Масса образца m приведена на установке, размер а определяется штангенциркулем. Определить погрешность.

Определить периоды колебаний параллелепипеда относительно его главных осей ( Т X , Т Y , Т Z ), относительно главной диагонали TAA , а также относительно диагоналей его сечений. Измерения провести так же как в пункте 3.

Рассчитать главные моменты инерции по формуле (9). Определить погрешности этих значений.

Измерив геометрические размеры параллелепипеда и зная его массу (она приведена на установке), рассчитать главные моменты инерции по формулам (2). Сравнить их с величинами JX , JY , JZ , полученными методом крутильных колебаний.

Рассчитать по формуле (9) моменты инерции параллелепипеда относительно главной диагонали и диагоналей сечений. Определить погрешности.

Определить те же самые моменты инерции по формуле (3).В эти формулы подставьте величины JX , JY , JZ , измеренные методом крутильных колебаний, и значения направляющих косинусов, характеризующих направление данной оси в выбранной ранее системе координат. Сравните полученные значения с измеренными методом крутильных колебаний.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Полученные тем или другим способом величины J являются результатами косвенных измерений. Выведем формулы для расчета погрешностей.

Для расчета J 0 используется формула (10), в которой величины а, m , Т и Т0 — результаты прямых измерений, погрешности которых известны. Эти погрешности обуславливают погрешность J0 , рассчитываемую следующим образом:

Подставляя в (11) вначале случайные, а потом систематические погрешности прямых измерений, рассчитываются погрешности J 0 , которые обусловлены случайными (о J 0 ) и систематическими (C J 0 ) погрешностями прямых измерений. Полная погрешность равна .

Аналогично получается выражение для расчета погрешности момента инерции, измеренного методом крутильных колебаний (формула (9))

Значения главных моментов инерции, вычисляемых по формулам (2), также отягощены погрешностями, т.к. размеры параллелепипеда и его масса определены с погрешностями. Формулы для расчета погрешностей JX , JY и JZ выводятся аналогично формуле (11). Например, погрешность  JX рассчитывается так.

Для определения погрешности величины момента инерции относительно осей, несовпадающих с главными, надо выписать формулу (3), подставив в нее конкретные значения направляющих косинусов. Так, для оси, совпадающей с главной диагональю, используя (4), получаем следующее выражение: , где все величины известны с погрешностью. Находя частные производные по всем параметрам, известным с погрешностью, получаем

Очевидно, что погрешность определения момента инерции относительно других осей должна иметь другой вид.

Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач

Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

Читайте так же:
Можно ли поставить посудомоечную машину на стиральную

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Момент инерции куба – 15 момент инерции параллелепипеда

На куб действуют следующие внешние силы: сила тяжести и сила реакции опоры, обе направленные по вертикали. В горизонтальном направлении па куб не действуют никакие силы, а значит, горизонтальная составляющая импульса центра куба должна быть постоянной во времени. Поскольку эта составляющая в начальный момент была равна нулю, она остается равной нулю все время. Это означает, что центр куба будет перемещаться только в вертикальном направлении. Искомую угловую скорость $omega$ определим из условия

где $v$ – скорость центра масс куба, $I$ – момент инерции куба относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, $omega$ – угловая скорость к>ба относительно той же оси в конечный момент.

Чтобы определить угловую скорость $omega$, следует сначала установить зависимость между $v$ и $omega$ в конечный момент и найти соответствующее выражение для $I$.

Линейная скорость ребра, скользящего по горизонтальной поверхности, в системе отсчета, которая движется вертикально вместе с центром куба, равна произведению $omega$ на половину диагонали квадрата, являющегося боковой гранью куба:

В конечный момент скорость $v_<1>$ направлена под углом $45^< circ>$ к горизонтали. Вертикальная составляющая $v^< prime>$ скорости $v$ равна при этом

Очевидно, такое же значение имеет скорость $v$:

Определим теперь момент инерции $I$. Ясно, что момент инерции куба относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, равен по величине моменту инерции тонкой квадратной пластины (масса которой равна массе куба и сторона равна ребру куба) относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластины и проходящей через ее середину.

Мысленно поделим пластину на очень малые элементы массой $m_$. Согласно рис., имеем

$I = sum_ m_r_^ <2>= sum_ m_ (x_^ <2>+ y_^ <2>) = sum_ m_x_^ <2>+ sum_ m_y_^<2>$.

Из соображений симметрии

$sum_ m_x_^ <2>= sum_ m_y_^<2>$. Значит, $I = 2 sum_ m_x_^<2>$.

Отметим, что $sum_ m_x_^<2>$ означает момент инерции пластины относительно оси, совпадающей с осью у. Этот момент, очевидно, равен моменту инерции стержня (масса которого равна массе пластины, а длина равна ее стороне) относительно оси, проходящей через центр стержня и перпендикулярной к нему. Момент инерции стержня равен $ma^<2>/12$, поэтому

Читайте так же:
Можно ли по картинке найти товар

Это равенство можно получить также на основании теоремы Штейнера и анализа размерностей. Момент инерции тела равен

$I = sum_ m_r_^<2>$.

Если массу каждого элемента увеличим в $k$ раз, то момент увеличится в $k$ раз. Следовательно, можно записать $I sim m$.

Аналогично если размер каждого элемента $r_$ увеличить в $l$ раз, то момент инерции $I$ возрастет в $l^<2>$ раз, а все линейные размеры пластины увеличатся пропорционально $l$. Значит, $I sim a^<2>$.
Обобщая эти две зависимости, получим

Величина $ma^<2>$ имеет размерность момента инерции, поэтому коэффициент пропорциональности $alpha$ должен быть безразмерным, ибо единственными параметрами, характеризующими механические свойства пластины, являются $m$ и $a$.

Поделим теперь пластину на четыре части, как показано на рис. Момент инерции каждой из четырех частей относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости рисунка, обозначим через $I_<1>$. Тогда

$I = 4I_<1>$, но по теореме Штейнера $I_ <1>= I^ < prime>+ frac <4>d^<2>$,

где $I^< prime>$ – момент инерции каждой из четырех частей относительно собственного центра. Согласно уравнению (2),

Тогда $alpha = 1/6$, а2

Подставляя в уравнение (1) зависимость $v$ от $omega$, а также полученное выражение для $I$, найдем

Список моментов инерции Википедия

Приведены формулы моме́нтов ине́рции для ряда массивных твёрдых тел различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину 2 . Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений [уточнить] , который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.

ФИЗИКА3 БОЛЬШЕ ГОТОВОГО1 / 1-st / Механика / 9 / №9 / 9 отчёт

Министерство образования РФ

Кафедра общей и технической физики

СПГГИ (ТУ) им. Г.В. Плеханова

Отчет по лабораторной работе №9

Определение моментов инерции параллелепипеда методом крутильных колебаний

Выполнил: студент гр. ГГ-01 Нагорная Е. В.

Проверил: доцент Смирнова Н.Н.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ – определить моменты инерции прямоугольного параллелепипеда относительно трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс, с помощью крутильных колебаний.

Теоретическое обоснование:

Моментом инерции тела называется величина равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояния от некоторой оси.

Момент инерции тела зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно данной оси разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов – материальных точек (рис.1). Тогда момент инерции тела

где mi – масса элемента; ri – расстояние от элемента до оси вращения;  – плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения.

Так как у тела может быть сколько угодно осей вращения, то и моментов инерции может быть бесконечное множество. Наибольший интерес для практики представляют моменты инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей Оx , Оy , Оz, проходящих через центр масс. Моменты инерции тела относительно этих осей называются главными моментами инерции:

Если тело имеет форму куба, то

Если тело, висящее на нерастяжимой нити (так, что направление нити проходит через центр тяжести тела), повернуть в горизонтальной плоскости на некоторый угол , то в результате деформации нити возникнет упругая сила. Эта сила создаст крутящий момент (момент силы) М , возвращающий систему в исходное состояние. В результате возникнут крутильные колебания.

Из механики нам известно, что при небольших отклонениях от равновесия момент М пропорционален углу . Введя коэффициент пропорциональности D – модуль кручения, зависящий от упругих свойств нити, получим

Если пренебречь силами сопротивления, то основной закон динамики вращательного движения можно записать в виде

Учитывая, что

уравнение (1) можно привести к виду

. (2)

Решением уравнения (2) являются функции синуса или косинуса

(здесь – амплитудное значение угла отклонения; – круговая частота; – начальная фаза), дифференцируя которые два раза по времени, получим

Уравнение (3) тождественно уравнению (2), если

.

Так как , гдеT – период колебаний, то уравнение можно записать в виде

РАБОЧИЕ ФОРМУЛЫ:

1. Период колебания

,

где: t-время колебания [с],

N- число колебаний

2. Момент инерции куба

,

где: m-масса куба [кг],

a-длина ребра куба [м]

3. Момент инерции параллелепипеда

,

где: J-момент инерции куба [кг . м 2 ] ,

Тр – период колебаний рамки [с] ,

Т– период колебаний рамки и куба [с] ,

Т- период колебаний рамки и параллелепипеда [с].

Формула относительной погрешности косвенных измерений:

Приборная погрешность:

Секундомера0,0005 с.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector